Inequação Produto e Inequação Quociente

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[editar] Estudo do sinal em inequações produto e inequações quociente

Agora que você conhece as funções e inequações de segundo grau, os seus gráficos, o estudo do sinal de cada uma, podemos partir para um estudo de inequações aparentemente mais complicadas, mas cuja resolução envolve a combinação dos conceitos vistos até aqui. Os exercícios de inequação produto e inequação quociente, desta forma, envolvem num mesmo exercício: o estudo do sinal de uma função do primeiro grau, o estudo do sinal de uma função do segundo grau e o conhecimento da “regra dos sinais”.

Regra dos Sinais

Multiplicação ou Divisão de...	Resultado
Um número positivo por outro número positivo.	Um número positivo.
Um número negativo por outro número negativo.	Um número positivo.
Um número positivo por um número negativo ou vice-versa.	Um número negativo.

Esse assunto não tem, em geral, uma incidência direta e constante nos vestibulares, mas é fundamental para desenvolver o raciocínio lógico e estimulá-lo na resolução de problemas reais, como mostra o exemplo.

(FGV – SP adaptado) O lucro de uma empresa é dado por: L(x) = 10.(10 – x).(x – 2).(20 – x) , onde x é a quantidade vendida. Calcular as quantidades de x que podem ser vendidas de modo que a empresa não tenha prejuízo.
Para resolver este problema, note que:

A empresa terá lucro quando $L \left( x \right)$ for maior que zero - $L \left( x \right) > 0$ - e terá prejuízo quando L(x) for menor que zero - $L \left( x \right) < 0$ . Quando L(x) for igual a zero a empresa não terá prejuízo nem lucro.

O problema está interessado apenas nas situações em que não há prejuízo, ou seja, aquelas em que L(x) > 0 ou L(x) = 0.

Logo, temos que saber para quais valores de x teremos L(x) ≥ 0, ou seja, temos que estudar o sinal da inequação $10.(10 – x).(x – 2).(20 – x) \ge 0$ .

Se eu for aplicar a propriedade distributiva para tentar resolver este problema, o resultado será uma função do terceiro grau - $L \left( x \right) = 10x^3 - 320x^2 + 2600x - 4000$ , que não estudamos e nem sabemos estudar o seu sinal.

Porém, podemos ver que L(x) é um produto (uma multiplicação) de 4 funções:

$f_1 \left( x \right) = 10$ , que é uma função constante;
$f_2 \left( x \right) = 10 - x$ ;
$f_3 \left( x \right) = x - 2$ ;
$f_4 \left( x \right) = 20 - x$ ;

Podemos escrever então, que $L \left( x \right) = f_1 \left( x \right)*f_2 \left( x \right)*f_3 \left( x \right)*f_4 \left( x \right)$ e que temos que resolver a inequação $f_1 \left( x \right)*f_2 \left( x \right)*f_3 \left( x \right)*f_4 \left( x \right) \ge 0$ . Essa forma caracteriza uma inequação quociente.

[editar] Definição

Inequação produto é toda desigualdade que pode ser escrita nas formas abaixo:

$f \left( x \right) * g \left( x \right)$ > 0;
$f \left( x \right) * g \left( x \right)$ \ge 0;
$f \left( x \right) * g \left( x \right)$ < 0;
$f \left( x \right) * g \left( x \right)$ \le 0

Inequação quociente é toda desigualdade que pode ser escrita nas formas abaixo:

$\frac{f \left( x \right)}{g \left( x \right)} > 0$ ;
$\frac{f \left( x \right)}{g \left( x \right)} \ge 0$ ;
$\frac{f \left( x \right)}{g \left( x \right)} < 0$ ;
$\frac{f \left( x \right)}{g \left( x \right)} \le 0$

Exemplos:

$(x+2)*(x+4) \ge 0$ é o produto entre as funções $f \left( x \right) = x + 2$ e $g \left( x \right) = x + 4$ em uma inequação. Temos que descobrir para quais valores de x esse produto é maior ou igual a zero.

$\frac{x}{2x-1}<0$ é o quociente entre as funções $f \left( x \right) = x$ e $g \left( x \right) = 2x -1$ em uma inequação. Temos que descobrir para quais valores de x esse quociente é menor que zero.

$\frac{(x-1)*(x+3)}{x-5} \le 0$ é produto das funções $f \left( x \right) = x-1$ e $f \left( x \right) = x+3$ e o quociente desse produto por $f \left( x \right) = x-5$ . Temos que descobrir para quais valores de x a equação é menor ou igual a zero.

[editar] Resolução de inequações quociente/produto

O modo de se resolver as inequações quociente e produto é o mesmo, já que a “regra dos sinais” na multiplicação é a mesma aplicada na divisão. Tal modo pode ser descrito assim:

Faz-se o estudo do sinal de cada uma das funções envolvidas no produto ou no quociente;
Compara-se o estudo desses sinais em cada um dos intervalos dos números reais;
Usa-se a “regra dos sinais” para determinar o sinal da função que será o produto/ quociente de cada uma das funções envolvidas.

Exemplo 1

Vamos resolver a inequação $(x-3)*(x+2) > 0 \,\!$ . Sabemos que ela é um produto das funções $f \left( x \right) = x - 3$ e $g \left( x \right) = x + 2$ . Vamos dar uma olhada no gráfico de cada uma dessas funções:

Gráfico de $f \left( x \right) = x - 3$ :

Desse gráfico nota-se:

$x - 3 \,\!$ é maior que zero (positivo) se x for maior que 3;
$x - 3 \,\!$ é menor que zero (negativo) se x for menor que 3;
$x - 3 \,\!$ é igual a zero se x for igual a 3.

Baseado nisso, simplificamos o gráfico e o desenhamos nesta forma (estudo do sinal da função):

Se você entende o que significa este gráfico (mesmo das aulas anteriores), você não terá dificuldades em entender o resto desse assunto.

Gráfico de $g \left( x \right) = x + 2$ :

Notar que:

g(x) = x + 2 é positivo se x > -2;
g(x) = x + 2 é negativo se x < -2;
g(x) = x + 2 é zero se x = 2;

Gráfico para estudo de sinal:

Vamos comparar os gráficos de sinal para as duas funções dessa forma:

Entender esse gráfico é a parte mais importante da aula (o gráfico apenas apresenta todas as informações de antes em um desenho só). Ele diz que:

Em x > -2, f(x) = x - 3 é negativo (f(x) < 0 – vide gráfico de f(x) = x - 3) e g(x) = x + 2 também é negativo (g(x) < 0 – vide gráfico de g(x) = x + 2). Perceba que, de acordo com a “regra dos sinais” o produto f(x).g(x) será positivo (produto de dois números negativos é positivo).

Quando x está entre -2 e 3 (-2 < x < 3), f(x) = x - 3 é negativo (f(x) < 0 – vide gráfico de f(x) = x - 3) e g(x) = x + 2 é positivo (g(x) > 0 – vide gráfico de g(x) = x + 2). Perceba que, de acordo com a “regra dos sinais” o produto f(x).g(x) será negativo (produto de número negativo com número positivo é negativo).

Quando x é maior que 3 (x > 3), f(x) = x - 3 é positivo (f(x) > 0 – vide gráfico de f(x) = x - 3) e g(x) = x + 2 é positivo (g(x) > 0 – vide gráfico de g(x) = x + 2). Perceba que, de acordo com a “regra dos sinais” o produto f(x).g(x) será positivo (produto de dois números positivos é positivo).

De posse dessas informações, montamos o estudo do sinal para a função $f \left( x \right) * g \left( x \right) = (x+3)*(x-2)$ .

E a partir daí resolvemos a inequação

(x + 3) * (x - 2) > 0

.

“( x – 3).(x + 2) é maior que zero se x pertencer ao conjunto dos números reais, contanto que ele seja menor que -2 ou seja maior que 3.”
Com maior rapidez, considerando que já é sabido o estudo do sinal de funções do primeiro e segundo grau, vamos resolver mais alguns exemplos:

Exemplo 2

Vamos resolver $\frac{x^2-x+2}{x+4} \le 0$ .
Estudo do sinal de $f \left( x \right) = x^2 - x + 2$ :

Estudo do sinal de $g \left( x \right) = x + 4$ :

Comparação entre f(x) e g(x):

Essa comparação é feita mais facilmente fazendo-se o estudo do sinal das funções em um quadro, conforme a seguir:

Note que, neste caso, x não pode ser igual a -4, pois o denominador g(x) ficaria igual a zero, o que não é permitido nos números reais.

Vemos que os valores de x que tornam $\frac{x^2-x+2}{x+4}$ menores ou iguais a zero são os números menores que -4 (x < - 4) e os que estão entre -1 e 2 ( $- 1 \le x \le 2$ ).

Os valores que tornam $\frac{x^2-x+2}{x+4}$ igual a zero são -1 e 2, porque eles fazem o numerador ficar igual a zero. Por isso que o intervalo entre -1 e 2 é descrito da forma ( $- 1 \le x \le 2$ ) e não da forma (- 1 < x < 2). Porque os números -1 e 2 fazem parte da solução neste caso.

Os intervalos que satisfazem a inequação são: $\left] - \infty; 4 \right]$ ou $\left[ - 1; 2 \right]$ .

Exemplo 3 (Resolução do problema do lucro)

Temos a inequação $f_1 \left( x \right)*f_2 \left( x \right)*f_3 \left( x \right)*f_4 \left( x \right) \ge 0$ , que, substituindo, fica $10*(10 - x)*(x - 2)*(20-x) \ge 0$ .
Colocamos o quadro de resolução diretamente (verificar se está certo mesmo!):

Então vemos que:

A empresa do problema terá lucro (L(x) > 0) se x estiver entre 2 e 10 ou se x for maior que 20.
A empresa não terá prejuízo nem lucro (L(x) = 0) se x = 2, x = 10 ou se x = 20.

Logo, os intervalos que satisfazem a inequação são: $\left[ 2; 10 \right]$ ou $\left[ 20; + \infty \right]$ .

[editar] Os vários tipos de resposta para uma inequação

A solução de uma inequação é um conjunto. No caso de uma inequação quociente, a solução geralmente é uma união de alguns subconjuntos de $\mathbb{R}$ formando um conjunto solução.

Resposta para o exemplo 1

A solução de $\left( x-3 \right)*\left( x+2 \right) > 0$ é o conjunto dos x que pertencem a (conjunto dos números reais) que são menores que -2 e também o conjunto dos que são maiores que 3. Em linguagem matemática, isso pode ser escrito assim (é muito importante que você entenda isso):

$S = \left \{ x \in \mathbb{R}| x > -2 \lor x > 3 \right \}$
Note que o símbolo “|” significa “contanto” e que o símbolo $\lor$ significa “ou”.

Uma outra forma de responder a questão seria dizer que a solução de $\left( x-3 \right)*\left( x+2 \right) > 0$ é a união dos intervalos $\left[ - \infty ; -2 \right]$ e $\left[ +3 ; + \infty \right]$ certo? Em linguagem matemática, isso seria:

$S = \left \{ x \in \left[ - \infty ; -2 \right] \cup \left[ +3 ; + \infty \right] \right \}$

Note a presença do símbolo união “ $\cup$ ”.

Uma terceira forma de resposta ainda, seria dizer que a solução de math>\left( x-3 \right)*\left( x+2 \right) > 0 </math> pode ser qualquer número do conjunto dos números reais menos aqueles que estão entre -2 e 3 (que é aquela região onde (x - 3).(x + 2) é negativo), ou seja, que estão no intervalo $\left[ - 2 ; 3 \right]$ . Em linguagem matemática:

$S = \left \{ x \in \mathbb{R} | x \not\in \left[ -2 ; 3 \right] \right \}$

Da mesma forma, são fornecidas as respostas que serviriam para os outros exemplos.

Respostas para o exemplo 2

a) $S = \left \{ x \in \mathbb{R} | x < -4 \lor -1 \le x \le 2 \right \}$
b) $S = \left \{ x \in \mathbb{R} | x \in \left[ - \infty ; -4 \right] \cup \left[ - 1 ; 2 \right] \right \}$

Respostas para o exemplo 3

a) $S = \left \{ x \in \mathbb{R} | 2 \le x \le 10 \lor x \ge 20 \right \}$
b) $S = \left \{ x \in \mathbb{R} | x \in \left[ 2 ; 10 \right] \cup \left[ 20 ; + \infty \right] \right \}$

[editar] Exercícios

1. (FGV – SP adaptado) Qual a solução da inequação $\frac{x}{x+1}-\frac{x}{x-1} \ge 0$ ?

2. (FEI – SP adaptado) Qual o conjunto solução da inequação $\frac{2x+1}{x-3} \ge 1$ ?

3. (FEI – SP adaptado) Qual o domínio da função $f \left( x \right) = \sqrt{\frac{x-1}{x+1}}$ ?

4. (Fatec – SP adaptado) Qual o domínio da função $f \left( x \right) = \sqrt{\frac{2x-1}{x-2}}$ ?

5. (FCC – SP adaptado) Qual a solução da inequação $\frac{-2x^2+3x+2}{x-2} \le 0$ ?

6. (Cescem – SP adaptado) Qual a solução da inequação $\left( x^2-2x+8 \right)*\left( x^2-5x+6 \right)*\left( x^2-16 \right) < 0$ ?

7. (FGV – SP adaptado) Qual a solução da inequação $\frac{x-3}{x-2} \le x-1$ ?

8. (UFV – MG adaptado) Qual a solução da inequação $\frac{x^2-6x+5}{\left( x+1 \right)*\left( x^2-7x+10 \right)} \ge 0$ ?

9. (Cescem – SP adaptado) Qual a solução do sistema $\left \{ \begin{matrix} 2x^2-16 \ge x^2 \\ x+2>0 \end{matrix} \right.$ ?

[editar] Respostas dos Exercícios

1. $S = \left \{ x \in \mathbb{R} | x < -1 \lor 0 \le x < 1 \right \}$
2. $S = \left \{ x \in \mathbb{R} | x \le -4 \lor x > 3 \right \}$
3. $S = \left \{ x \in \mathbb{R} | x < -1 \lor x \ge 1 \right \}$
4. $S = \left \{ x \in \mathbb{R} | x \le \frac{1}{2} \lor x > 2 \right \}$
5. $S = \left \{ x \in \mathbb{R} | x \le -\frac{1}{2} \lor x \ne 2 \right \}$
6. $S = \left \{ x \in \mathbb{R} | -4 < x < 2 \lor 3 < x < 4 \right \}$
7. $S = \left \{ x \in \mathbb{R} | x < 2 \right \}$
8. $S = \left \{ x \in \mathbb{R} | -1 < x < 1 \lor 2 < x < 5 \lor x > 5 \right \}$
9. $S = \left \{ x \in \mathbb{R} | x \le -4 \right \}$

quinta-feira, 28 de julho de 2011

Inequação do Produto do 2° Grau e Inequação do Quociente do 2° Grau

Inequação Produto e Inequação Quociente

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[editar] Estudo do sinal em inequações produto e inequações quociente

[editar] Definição

[editar] Resolução de inequações quociente/produto

[editar] Os vários tipos de resposta para uma inequação

[editar] Exercícios

[editar] Respostas dos Exercícios

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