Função quadrática
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Em matemática, uma função quadrática é uma função polinomial da forma:
Se a função quadrática é igualada a zero, o resultado é uma equação quadrática. As soluções para a equação são chamadas raízes da equação ou os zeros da função, e são os interceptos do gráfico da função com o eixo x.
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[editar] Origem da palavra
O adjetivo quadrática vem da palavra latina quadratum, que significa quadrado. Um termo como x2 é chamado de quadrado em álgebra, porque representa a área de um quadrado de lado x.Em geral, um prefixo quadr(i)- indica o número 4. Como em quadrilátero e quadrante. Quadratum é a palavra latina para quadrado por que um quadrado tem quatro lados.
[editar] Raízes
- , a função terá duas raízes.
- , a equação terá uma raiz apenas (com maior precisão, diz-se que a equação tem duas raízes iguais)
- , não terá raíz (com maior precisão, diz-se que a equação não tem raíz reais, tendo duas raízes complexos conjugados).
As duas raízes da equação quadrática , onde são
Essa fórmula é chamada de Fórmula de Bhaskara.
- Dado
- Se , então existem duas raízes distintas uma vez que é um número real positivo.
- Se , então as duas raízes são iguais, uma vez que é igual a zero.
- Se , então as duas raízes são números complexos conjugados, uma vez que é imaginário.
[editar] Concavidade do gráfico da função quadrática
A concavidade é a abertura da parábola, que ora está voltada para cima e ora está voltada para baixo. O sentido da concavidade depende do coeficiente a, se este for superior a 0, ou seja, positivo, ela é voltada para cima, caso seja negativo ela é voltada para baixo.[editar] Vértice da parábola
O vértice da parábola corresponde ao ponto mais extremo dela. É definido pelas seguintes coordenadas:[editar] Crescimento e decrescimento de uma função quadrática
Em uma parábola, metade é crescente e a outra metade é decrescente.- Concavidade voltada para cima:
- Decrescente do -infinito ao vértice
- Crescente do vértice ao infinito
- Concavidade voltada para baixo:
- Crescente do -infinito ao vértice
- Decrescente do vértice ao infinito
[editar] Formas da função quadrática
Uma função quadrática pode ser expressa em três formatos:- é chamada a forma geral ou forma polinomial (também chamada de forma desenvolvida),
- é chamada a forma fatorada, onde r1 e r2 são as raízes da equação quadrática, e
- é chamada a forma padrão ou forma vértice (também chamada de forma canônica).
[editar] Gráfico
Independentemente do formato, o gráfico de uma função quadrática é uma parábola (como mostrado abaixo).- Se , a parábola abre para cima.
- Se , a parábola abre para baixo.
O coeficiente b e a, juntos, controlam o eixo de simetria da parábola (e também a coordenada do x do vértice).
O coeficiente b sozinho é a declividade da parábola ao cortar o eixo y.
O coeficiente c controla a altura da parábola, mais especificamente, é o ponto onde a parábola corta o eixo y.
[editar] Vértice
O vértice de uma parábola é o número crítico da função quadrática - o ponto onde ela vira, também chamado de turning point. Se a função estiver na forma padrão, o vértice é dado por . Pelo método de completar o quadrado transforma-se a forma geral:- .
- Pontos de máximo/mínimo
- O máximo ou mínimo de uma função é sempre obtido no vértice. O seguinte método se baseia na mesma idéia fazendo uso do cálculo. A vantagem desse método é que ele funciona para funções mais gerais.
- Tomando como um exemplo de equação quadrática para achar seus pontos extremos (que dependem de , se , tem um ponto mínimo, se , tem um ponto máximo) é necessário antes encontrar sua derivada:
- Depois, encontramos as raízes de :
- Então, é o valor de . Agora, para encontrar o valor de , substituimos em :
- Assim, as coordenadas do ponto mínimo/máximo são:
[editar] Estudo dos Sinais
O estudo dos sinais da função quadrática define os sinais da função para qualquer valor de x. O estudo depende do sinal do coeficiente a e do Δ. Ele é obtido analisando o esboço do gráfico da concavidade da função.[editar] - 1º Caso: Δ < 0
Neste caso, a parábola da função não corta o eixo das absissas. Portanto:[editar] - 2º Caso: Δ = 0
Neste caso, a parábola da função corta o eixo das absissas em apenas um ponto. Tem-se duas situações, dependendo o valor do coeficiente a e das raízes r1 e r2 (note que r1 < r2):- a > 0
- a < 0
[editar] - 3º Caso: Δ > 0
Neste caso, a parábola da função corta o eixo das absissas em dois pontos. Novamente, tem-se duas situações, dependendo o valor do coeficiente a (note novamente que r1 < r2):- a > 0
- a < 0
[editar] Raiz quadrada de uma função quadrática
A raiz quadrada de uma função quadrática faz surgir ou uma elipse ou uma hipérbole. Se então a equação descreve uma hipérbole. O eixo da hipérbole é determinado pela ordenada do ponto mínimo da parábola correspondenteSe a ordenada for negativa, então o eixo da hipérbole é horizontal. Se ordenada for positiva, então o eixo da hipérbole é vertical.
Se então a equação descreve ou uma elipse ou absolutamente nada. Se a ordenada do ponto máximo da parábola correspondente for positiva, então sua raiz quadrada descreve uma elipse, mas a ordenada for negativa ela descreve um conjunto vazio de pontos.
[editar] Função quadrática bivariada
Uma função quadrática bivariada é um polinômio de segundo grau da forma[editar] Mínimo/máximo
Se a função não possui máximo ou mínimo e seu gráfico forma um parabolóide hiperbólico.Se a função possui um mínimo se A>0, e um máximo se A<0 e seu gráfico forma um parabolóide elíptico.
O mínimo ou máximo de uma função quadrática bivariada é obtido através de onde:
Se e a função alcança o mínimo/máximo em uma linha. Similarmente, um mínimo se A>0 e um máximo se A<0, e seu gráfico forma um cilindro parabólico.
[editar] Ver também
- Forma quadrática
- Representação matricial de secções cônicas
- Quádrica
- Pontos periódicos de mapeamentos quadráticos complexos ( CESGRANRIO ) O conjunto solução da inequação x2 - 3x - 10 < 0 é:
- (- °° , - 2)
- (- °° , - 2) (5, °°)
- (- 2, 5) X
- (0, 3)
- (3, 10)
2. (PUC - MG) - A solução da inequação x2 x é o intervalo real:
- (- °° , - 11]
- [- 1, °° )
- [-1, 0 ]
- [-1, 1 ]
- [ 0, 1 ) X
3. (UEL - PR) - O conjunto dos valores reais de x, que tornam verdadeira a sentença 2x2 - x < 1, é:
- {x IR /-1/2 < x < 1} X
- {x IR / x > 1 ou x < -1/2 }
- {x IR / x < 1 }
- {x IR / 1/2 < x < 1}
- {x IR / x < -1/2 }
4.( CESGRANRIO ) - As soluções de x2 - 2x < 0 são os valores de x pertencentes ao conjunto:
- ( 0, 2 ) X
- (- ºº, 0 )
- (2, ºº )
- (- ºº , 0 ) (2, ºº )
- ( 0, ºº )
5. (UNESP) - O conjunto-solução da inequação (x - 2)2 < 2x - 1, considerando como universo o conjunto IR, está definido por:
a) 1 < x < 5 X
b) 3 < x < 5
c) 2 < x < 4
d) 1 < x < 4
e) 2 < x < 5
6. (UFSE) - O trinômio y = x2 + 2kx + 4k admitirá duas raízes reais e distintas se, e somente se:
- k > 4
- k > 0 e k 4
- k < 0 ou k > 4 X
- k 0 e k 4
- 0 < k < 4
7. (CESGRANRIO) A menor solução inteira de x2 - 2x - 35 < 0 é:
- -5
- -4 X
- -3
- -2
- -1
8. ( UFSC ) A equação 2x2 - px + 8 = 0 tem raízes reais e distintas para p satisfazendo as condições:
- p 8 ou p -8
- -8 p 8
- p 8 ou p > 8
- p < -8 ou p 8
- p < -8 ou p > 8 X
9. ( PUC - SP ) Os valores de m R, para os quais o trinômio y = ( m - 1 ) x2 + mx + 1 tem dois zeros reais e distintos, são:
- m 1 e m 2; X
- 1 m 2;
- m 1;
- m 2;
- m = 2
10. ( FATEC - SP ) Os valores de k, k Z , para que os quais a equação kx2 + 9 = kx -3 não admite solução real, pertence ao intervalo:
- (-ºº, -10 )
- ( -10, -5 )
- ( -2, 0 )
- ( 0, 48 ) X
- ( 48, 100 )
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