Maximo e Mínimo de uma função

Problemas de Máximo ou Mínimo

Introdução

Saber determinar pontos de máximo ou de mínimo de uma função é um conhecimento matemático que nos ajuda a resolver muitos problemas práticos. Às vezes, a expressão da função é suficientemente simples, o que torna este cálculo fácil de ser feito (por exemplo se a função é quadrática: y = a.x² + b.x + c. Por que neste caso é simples?). Mas se não for este o caso, precisamos de um pouco mais de ferramenta matemática!

Considere a função que tem o gráfico abaixo. Tome um ponto (x, f(x)) no gráfico e trace a reta tangente ao gráfico passando por esse ponto. Imagine este ponto deslocando-se no gráfico e observe a mudança de posição na reta tangente; para cada "x" estime a inclinação da reta tangente (faça uma régua deslizar de forma tangente ao gráfico) e esboce o gráfico de tal função.

1. Destaque no gráfico os intervalos onde a inclinação da reta é positiva e onde é negativa.
2. Nos pontos de máximo ou de mínimo da função f, como é a inclinação da reta tangente?

Clique aqui para verificar sua resposta.

Definição da inclinação da reta tangente ao gráfico no ponto (x, f(x))

Vimos acima que nos pontos de máximo ou de mínimo da função a inclinação da reta tangente é zero. Assim, se sabemos determinar quando a inclinação da reta tangente é zero, podemos resolver os problemas de máximo e mínimo.

Nosso objetivo agora é ver como se calcula a inclinação da reta tangente ao gráfico f no ponto (x, f(x)). Vamos considerar a reta secante ao gráfico passando pelos pontos (x, f(x)) e , conforme figura abaixo (pense bem pequeno!). A inclinação desta reta secante é dada por: Obs.: Lembre-se que se temos dois pontos (x1,y1) e (x2,y2), a inclinação da reta é dada da seguinte forma: (y2 - y1) / (x2 - x1)

Se tomarmos cada vez menor, temos o ponto cada vez mais próximo de (x, f(x)) e a reta secante cada vez mais próxima da reta tangente ao gráfico no ponto (x, f(x)). Assim, é natural considerar a inclinação da reta tangente no ponto (x, f(x)) como sendo o número do qual se aproxima o quociente acima, quando tende a zero.

Aplicação

Encontre o vértice da parábola y = ax² + bx + c.

Para resolvermos este problema, geralmente procedemos da seguinte maneira:


Analizando a equação final, observamos o seguinte:

• Se a > 0, para obtermos um valor mínimo, precisamos que "x" assuma o valor de -b/2a, pois assim anulamos a primeira parcela, obtendo para "y" o valor da segunda parcela c - b²/4a;
• Se a < 0, para obtermos um valor máximo, precisamos novamente que "x" assuma o valor de -b/2a, para anularmos a primeira parcela, que é negativa e só diminuiria o valor do resultado final. Teremos, então, "y" igual ao valor da segunda parcela, ou seja, c - b²/4a.
  Enfim, para qualquer um dos casos, teremos:
  

Porém, podemos resolver esse problema encontrando os pontos de máximo e mínimo da função y = ax² + bx + c.
Como já vimos, nos pontos de máximo e mínimo de uma função a inclinação da reta tangente a esses pontos é zero. Então vamos determinar a inclinação da reta tangente à parábola y = ax² + bx + c e verificar quando que ela é zero.
Inclinação da reta tangente:
Fazendo com que aproxime-se mais e mais de zero, teremos que a inclinação da reta tangente à parábola é: 2ax + b.
Vamos, então, verificar quando a inclinação da reta tangente é zero:
Para obtermos a ordenada do vértice, substituimos "x" na equação y = ax² + bx + c:

---