segunda-feira, 25 de julho de 2011

Progressão aritmética

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Uma progressão aritmética é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual à soma do termo anterior com uma constante r\,\!. O número r\,\! é chamado de razão da progressão aritmética, e vem do 'r', de resto da subtração
Alguns exemplos de progressão aritmética:
  • P.a.(1,4,7,10,13,16,19,22,25,28,31,34,37,40,43,46,49,...)\,\!, em que r=3(por que o numero do r é a diferença entre os números que vão crescendo)\,\!.
  • P.a.(-2,-4,-6,-8,-10,-12,-14,-16,-18,-20,-22,-24,-26,...)\,\!, em que r=-2\,\!.
  • P.a.(6,6,6,6,6,6,6,6...)\,\!, em que r=0\,\!.
Numa progressão aritmética, a partir do segundo termo, o termo central é a média aritmética do termo antecessor e do sucessor, isto é, an = (an − 1 + an + 1) / 2.

Índice

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[editar] Fórmula do termo geral de uma progressão aritmética

A fórmula do termo geral de uma progressão aritmética é expressa da seguinte forma:
a_n=a_1 + (n-1).r\,\!
an é o enésimo termo (termo geral); a1 é o primeiro termo; n é o número de termos presentes na PA; r é a razão.

[O valor de qualquer termo é igual ao anterior mais a constante.

  • O valor do segundo termo é igual ao primeiro mais a constante:
a_2=a_1+r\,\!
  • O valor do terceiro termo é igual ao segundo mais a constante:
a_3=a_2+r   \,\!
a_2=a_1+r\,\!, portanto: a_3=(a_1+r)+r\,\!
a_3=a_1+2r\,\!
  • O valor do quarto termo é igual ao terceiro mais a constante:
a_4=a_3+r\,\!
a_3=a_1+2r\,\!, portanto: a_4=(a_1+2r)+r\,\!
a_4=a_1+3r\,\!
  • Como o número multiplicado pela constante é sempre a posição do termo menos 1, temos a fórmula:
a_n=a_1+(n-1).r\,\! Outra fórmula útil expressa o n-ésimo termo em função do m-ésimo termo: a_n = a_m + (n-m).r\,\!

[editar] Soma dos termos de uma progressão aritmética


A soma dos termos dos extremos é igual à soma dos termos equidistantes deles
A soma dos primeiros termos de uma progressão aritmética finita, a partir do primeiro, é calculada pela seguinte fórmula:
S_n=\frac{n.(a_1+a_n)}{2},\!
A soma dos termos entre a_p\,\! e a_q\,\! é:
S_{(p,q)}=\frac{(q-p+1).(a_p+a_q)}2\,\!
Diz a lenda que Gauss fora punido pelo professor (por estar desatento numa de suas aulas do ciclo primário de matemática) com a tarefa de somar todos os números inteiros de 1 a 100. Apercebeu-se desta fórmula e utilizou-a para calcular imediatamente a soma pedida. Ao apresentar sua resposta, o professor disse ser impossível o garoto ter realizado a tarefa em tão pouco tempo e duvidou da resposta de Gauss. O garoto só foi levado a sério no final da aula, quando os outros alunos obtiveram a resposta. Dizem também que Gauss chegou a ser punido fisicamente por questionar o professor[1].

[editar] Interpolação Aritmética

É a ação de inserir ou interpolar uma quantidade de meios aritméticos entre extremos de uma progressão aritmética. A fórmula utilizada é:
u_n=u_1+(n-1).r\,\!
Onde:
un = Último termo da P.A.
u1 = Primeiro termo da P.A.
n = Número total de termos da P.A.
r = Razão da P.A.

[editar] Tipos de progressões aritméticas

[editar] Progressão aritmética constante

Uma progressão aritmética constante ou estacionária é toda progressão aritmética em que todos os termos são iguais, sendo que para isso a razão r tem que ser sempre igual a zero.
Exemplos de progressão aritmética constante:
  • P.A. (5,5,5,5,5,5,5,5,5,...) - razão r = 0
  • P.A. (0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,...) - razão r = 0

[editar] Progressão aritmética crescente

Uma progressão aritmética crescente é toda progressão aritmética em que cada termo, a partir do segundo, é maior que o termo que o antecede, sendo que para isso a razão r tem que ser sempre maior que zero (r>0).
Exemplos de progressão aritmética crescente:
  • P.A. (2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28,30,32,...) - razão r = 2
  • P.A. (3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,36,39,42,45,...) - razão r = 3

[editar] Progressão aritmética decrescente

Uma progressão aritmética decrescente é toda progressão aritmética em que cada termo, a partir do segundo, é menor que o termo que o antecede, sendo que para isso a razão r tem que ser sempre menor do que zero (r<0).
Exemplos de progressão aritmética decrescente:
  • P.A. (6,4,2,0,-2,-4,-6,-8,-10,-12,-14,-16,-18,-20,-22,-24,-26,-28,...) - razão r = -2
  • P.A. (6,3,0,-3,-6,-9,-12,-15,-18,-21,-24,-27,-30,-33,-36,-39,-42,...) - razão r = -3

[editar] Progressão aritmética de segunda ordem

Uma progressão aritmética de segunda ordem é considerada por muitos matemáticos o tipo de progessão aritmética mais complexo. Consiste numa sequência de números que, aparentemente, nada parece com uma progressão aritmética, porém percebe-se que a diferença entre os números da sequência cresce em progressão aritmética como mostra o exemplo:
  • Sequência - (1,3,7,13,21,31,43,57,73bnk)
Se subtrairmos o primeiro termo da sequência do segundo, teremos como resultado o número 2. Já a diferença entre o segundo e terceiro termos é igual a 4, a diferença entre o terceiro e o quarto termos é igual a 6 e assim sucessivamente. Verificamos que a diferença entre os termos da sequência cresce em progressão aritmética de razão igual a 2.
PS:o numero da razão cresce de 2 em 2.

[editar] Ver também

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