Inequação Produto e Inequação Quociente
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[editar] Estudo do sinal em inequações produto e inequações quociente
Agora que você conhece as funções e inequações de segundo grau, os seus gráficos, o estudo do sinal de cada uma, podemos partir para um estudo de inequações aparentemente mais complicadas, mas cuja resolução envolve a combinação dos conceitos vistos até aqui. Os exercícios de inequação produto e inequação quociente, desta forma, envolvem num mesmo exercício: o estudo do sinal de uma função do primeiro grau, o estudo do sinal de uma função do segundo grau e o conhecimento da “regra dos sinais”.- Regra dos Sinais
Multiplicação ou Divisão de... | Resultado |
Um número positivo por outro número positivo. | Um número positivo. |
Um número negativo por outro número negativo. | Um número positivo. |
Um número positivo por um número negativo ou vice-versa. | Um número negativo. |
Esse assunto não tem, em geral, uma incidência direta e constante nos vestibulares, mas é fundamental para desenvolver o raciocínio lógico e estimulá-lo na resolução de problemas reais, como mostra o exemplo.
(FGV – SP adaptado) O lucro de uma empresa é dado por: L(x) = 10.(10 – x).(x – 2).(20 – x) , onde x é a quantidade vendida. Calcular as quantidades de x que podem ser vendidas de modo que a empresa não tenha prejuízo.
Para resolver este problema, note que:
- A empresa terá lucro quando for maior que zero - - e terá prejuízo quando L(x) for menor que zero - . Quando L(x) for igual a zero a empresa não terá prejuízo nem lucro.
- O problema está interessado apenas nas situações em que não há prejuízo, ou seja, aquelas em que L(x) > 0 ou L(x) = 0.
- Logo, temos que saber para quais valores de x teremos L(x) ≥ 0, ou seja, temos que estudar o sinal da inequação .
- Se eu for aplicar a propriedade distributiva para tentar resolver este problema, o resultado será uma função do terceiro grau - , que não estudamos e nem sabemos estudar o seu sinal.
Porém, podemos ver que L(x) é um produto (uma multiplicação) de 4 funções:
- , que é uma função constante;
- ;
- ;
- ;
Podemos escrever então, que e que temos que resolver a inequação . Essa forma caracteriza uma inequação quociente.
[editar] Definição
Inequação produto é toda desigualdade que pode ser escrita nas formas abaixo:- > 0;
- \ge 0;
- < 0;
- \le 0
Inequação quociente é toda desigualdade que pode ser escrita nas formas abaixo:
- ;
- ;
- ;
Exemplos:
- é o produto entre as funções e em uma inequação. Temos que descobrir para quais valores de x esse produto é maior ou igual a zero.
- é o quociente entre as funções e em uma inequação. Temos que descobrir para quais valores de x esse quociente é menor que zero.
- é produto das funções e e o quociente desse produto por . Temos que descobrir para quais valores de x a equação é menor ou igual a zero.
[editar] Resolução de inequações quociente/produto
O modo de se resolver as inequações quociente e produto é o mesmo, já que a “regra dos sinais” na multiplicação é a mesma aplicada na divisão. Tal modo pode ser descrito assim:- Faz-se o estudo do sinal de cada uma das funções envolvidas no produto ou no quociente;
- Compara-se o estudo desses sinais em cada um dos intervalos dos números reais;
- Usa-se a “regra dos sinais” para determinar o sinal da função que será o produto/ quociente de cada uma das funções envolvidas.
- Exemplo 1
Desse gráfico nota-se:
- é maior que zero (positivo) se x for maior que 3;
- é menor que zero (negativo) se x for menor que 3;
- é igual a zero se x for igual a 3.
Baseado nisso, simplificamos o gráfico e o desenhamos nesta forma (estudo do sinal da função):
Se você entende o que significa este gráfico (mesmo das aulas anteriores), você não terá dificuldades em entender o resto desse assunto.
Notar que:
- g(x) = x + 2 é positivo se x > -2;
- g(x) = x + 2 é negativo se x < -2;
- g(x) = x + 2 é zero se x = 2;
Vamos comparar os gráficos de sinal para as duas funções dessa forma:
Entender esse gráfico é a parte mais importante da aula (o gráfico apenas apresenta todas as informações de antes em um desenho só). Ele diz que:
- Em x > -2, f(x) = x - 3 é negativo (f(x) < 0 – vide gráfico de f(x) = x - 3) e g(x) = x + 2 também é negativo (g(x) < 0 – vide gráfico de g(x) = x + 2). Perceba que, de acordo com a “regra dos sinais” o produto f(x).g(x) será positivo (produto de dois números negativos é positivo).
- Quando x está entre -2 e 3 (-2 < x < 3), f(x) = x - 3 é negativo (f(x) < 0 – vide gráfico de f(x) = x - 3) e g(x) = x + 2 é positivo (g(x) > 0 – vide gráfico de g(x) = x + 2). Perceba que, de acordo com a “regra dos sinais” o produto f(x).g(x) será negativo (produto de número negativo com número positivo é negativo).
- Quando x é maior que 3 (x > 3), f(x) = x - 3 é positivo (f(x) > 0 – vide gráfico de f(x) = x - 3) e g(x) = x + 2 é positivo (g(x) > 0 – vide gráfico de g(x) = x + 2). Perceba que, de acordo com a “regra dos sinais” o produto f(x).g(x) será positivo (produto de dois números positivos é positivo).
De posse dessas informações, montamos o estudo do sinal para a função .
Com maior rapidez, considerando que já é sabido o estudo do sinal de funções do primeiro e segundo grau, vamos resolver mais alguns exemplos:
- Exemplo 2
Estudo do sinal de :
Estudo do sinal de :
Essa comparação é feita mais facilmente fazendo-se o estudo do sinal das funções em um quadro, conforme a seguir:
Note que, neste caso, x não pode ser igual a -4, pois o denominador g(x) ficaria igual a zero, o que não é permitido nos números reais.
- Vemos que os valores de x que tornam menores ou iguais a zero são os números menores que -4 (x < - 4) e os que estão entre -1 e 2 ().
- Os valores que tornam igual a zero são -1 e 2, porque eles fazem o numerador ficar igual a zero. Por isso que o intervalo entre -1 e 2 é descrito da forma () e não da forma (- 1 < x < 2). Porque os números -1 e 2 fazem parte da solução neste caso.
Os intervalos que satisfazem a inequação são: ou .
- Exemplo 3 (Resolução do problema do lucro)
Colocamos o quadro de resolução diretamente (verificar se está certo mesmo!):
Então vemos que:
- A empresa do problema terá lucro (L(x) > 0) se x estiver entre 2 e 10 ou se x for maior que 20.
- A empresa não terá prejuízo nem lucro (L(x) = 0) se x = 2, x = 10 ou se x = 20.
[editar] Os vários tipos de resposta para uma inequação
A solução de uma inequação é um conjunto. No caso de uma inequação quociente, a solução geralmente é uma união de alguns subconjuntos de formando um conjunto solução.- Resposta para o exemplo 1
Note que o símbolo “|” significa “contanto” e que o símbolo significa “ou”.
Uma outra forma de responder a questão seria dizer que a solução de é a união dos intervalos e certo? Em linguagem matemática, isso seria:
Note a presença do símbolo união “”.
Uma terceira forma de resposta ainda, seria dizer que a solução de math>\left( x-3 \right)*\left( x+2 \right) > 0 </math> pode ser qualquer número do conjunto dos números reais menos aqueles que estão entre -2 e 3 (que é aquela região onde (x - 3).(x + 2) é negativo), ou seja, que estão no intervalo . Em linguagem matemática:
Da mesma forma, são fornecidas as respostas que serviriam para os outros exemplos.
- Respostas para o exemplo 2
b)
- Respostas para o exemplo 3
b)
[editar] Exercícios
1. (FGV – SP adaptado) Qual a solução da inequação ?2. (FEI – SP adaptado) Qual o conjunto solução da inequação ?
3. (FEI – SP adaptado) Qual o domínio da função ?
4. (Fatec – SP adaptado) Qual o domínio da função ?
5. (FCC – SP adaptado) Qual a solução da inequação ?
6. (Cescem – SP adaptado) Qual a solução da inequação ?
7. (FGV – SP adaptado) Qual a solução da inequação ?
8. (UFV – MG adaptado) Qual a solução da inequação ?
9. (Cescem – SP adaptado) Qual a solução do sistema ?
[editar] Respostas dos Exercícios
1.2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
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