função Real e Função Real

Função real: Uma função f sobre um conjunto X com imagem no conjunto Y, denotada por f:XY, associa a cada xX um único elemento yY, para todos os elementos de X. O que caracteriza o nome da função é o contradomínio Y da mesma. Se Y é um conjunto de:

1. números reais, temos uma função real.
2. vetores, temos uma função vetorial.
3. matrizes, temos uma função matricial.
4. números complexos, a função é complexa.

Neste trabalho, o conjunto dos números naturais será indicado por:

N={1,2,3,4,5,...}

Sequências reais: Uma sequência real (ou sucessão) é uma função f:NR que associa a cada número natural n um número real f(n). O valor numérico f(n) é o termo de ordem n da sequência. Do modo como definimos a sequência, o domínio de f é um conjunto infinito, mas o contradomínio poderá ser finito ou infinito. O domínio de uma sequência é indicado por Dom(f)=N e a imagem de uma sequência por Im(f)={a₁,a₂,a₃, ...}.
Muitas vezes, a sequência (função) é confundida com a Imagem da função (conjunto de números), no entanto, esta confusão até mesmo colabora para o entendimento do significado de uma sequência no âmbito do Ensino Médio.
Um fato importante é que a função determina a regra que os elementos do conjunto imagem devem seguir.

Exemplos importantes de sequências reais

Função identidade: Seja f:NR definida por f(n)=n. Esta função pode ser representada graficamente de várias formas, sendo que duas delas estão mostradas abaixo, com o diagrama de Venn-Euler (esquerda) e o gráfico cartesiano (direito). Neste caso, Dom(f)=N e Im(f)={1,2,3,...}

Sequência de números pares: Seja f:NR definida por f(n)=2n. Neste caso Im(f)={2,4,6,...}. Duas representações gráficas para esta sequência, são:

Sequência de números ímpares: A função f:NR definida por f(n)=2n-1, está representada abaixo e a sua imagem é Im(f)={1,3,5,...}.

Sequência dos recíprocos: A sequência dos recíprocos (ou inversos) dos números naturais f:NR é definida por f(n)=1/n. Neste caso Im(f)={1,1/2,1/3,1/4,...,1/n,...}.

Sequência constante: Uma sequência constante é uma função f:NR definida, por exemplo, por f(n)=3 e pode ser representada graficamente por:

Neste caso, Im(f)={3}
Sequência nula: A sequência nula f:NR é definida por f(n)=0. A imagem é o conjunto Im(f)={0}. f pode ser vista graficamente como:

Sequência alternada: Uma sequência alternada f:NR pode ser definida por f(n)=(-1)ⁿn. Esta sequência de números fica alternando o sinal de cada termo, sendo um negativo e o seguinte positivo, e assim por diante. A imagem é o conjunto:

Im(f)={-1,+2,-3,+4,-5,+6,...}

Sequência aritmética: A sequência aritmética f:NR é definida por: f(n)=a₁+(n-1)r e pode ser vista com os gráficos abaixo:

Neste caso: Im(f)={a₁,a₁+r,a₁+2r,...,a₁+(n-1) r,...}.
Sequência geométrica: Uma sequência geométrica é uma função f:NR definida por: f(n)=a₁q^n-1 que pode ser esboçada graficamente por:

Aqui Im(f)={a₁,a₁q,a₁q²,...,a₁q^n-1,...}.
Sequência recursiva:: Uma sequência é recursiva se, o termo de ordem n é obtido em função dos termos das posições anteriores.
Exemplo: A importante sequência de Fibonacci, definida por f:NR tal que f(1)=1 e f(2)=1 com

f(n+2)=f(n)+f(n+1)

para n>1, é uma sequência recursiva.
O conjunto imagem é Im(f)={1,1,2,3,5,8,13,21,34,...}

f(1)=1 f(2)=1 f(3)=f(1)+f(2)= 1+ 1= 2 f(4)=f(2)+f(3)= 1+ 2= 3 f(5)=f(3)+f(4)= 2+ 3= 5 f(6)=f(4)+f(5)= 3+ 5= 8 f(7)=f(5)+f(6)= 5+ 8=13 f(8)=f(6)+f(7)= 8+13=21 f(9)=f(7)+f(8)=13+21=34 ... ... ...

As sequências de Fibonacci aparecem de uma forma natural em estudos de Biologia, Arquitetura, Artes e Padrões de beleza. O livro "A divina proporção", Huntley, Editora Universidade de Brasília, trata do assunto.
Observação: O gráfico de uma sequência não é formado por uma coleção contínua de pontos mas por uma coleção discreta. Eventualmente usamos retas ou curvas entre dois pontos dados para melhor visualizar o gráfico, mas não podemos considerar tais linhas como representativas do gráfico da sequência.
Toda vez que nos referirmos a uma sequência f:NR tal que f(n)=a_n, simplesmente usaremos a imagem da sequência f, através do conjunto

Im(f)={ a₁, a₂, a₃, ..., a_n-1, a_n, ...}

Sequências finitas e infinitas

Quanto ao número de elementos da imagem, uma sequência poderá ser finita ou infinita.
Sequência Finita: Uma sequência é finita se, o seu conjunto imagem é um conjunto finito.
Exemplos: As sequências f:NR definidas por f(n)=0, g(n)=(-1)ⁿ e h(n)=cos(n/3) são finitas e as suas imagens são, respectivamente:

Im(f)={0}, Im(g)={-1,1}, Im(h)={1/2,-1/2,-1,1}

Sequência Infinita: Uma sequência é infinita se, o seu conjunto imagem é um conjunto infinito.
Exemplos: As sequências f:NR definidas por f(n)=2n, g(n)=(-1)ⁿn, h(n)=sin(n) e k(n)=cos(3n) são infinitas, pois suas imagens possuem infinitos termos.
Exemplo: Seja a sequência infinita f:NR, cujo conjunto imagem é dado por Im(f)={5,10,15,20,...}. Observamos que

f(1)=5=5×1,  f(2)=10=5×2,  f(3)=15=5×3,  ..., f(n) = 5n

Este é um exemplo de uma sequência aritmética, o que garante que ela possui uma razão r=5, o que permite escrever cada termo como

f(n)=f(1)+(n-1).r

No âmbito do Ensino Médio, esta expressão é escrita como:

a_n=a₁+(n-1).r

Sequências aritméticas e PA

Uma sequência muito útil é a sequência aritmética, que possui domínio infinito. Esta sequência é conhecida no âmbito do Ensino Médio, como uma Progressão Aritmética infinita, mas o objeto matemático denominado Progressão Aritmética finita não é uma sequência, uma vez que o domínio da função que define a progressão, é um conjunto finito {1,2,3,...,m} contido no conjunto N dos números naturais.
Progressão Aritmética finita: Surge aqui o conceito de Progressão Aritmética finita, que é uma coleção finita de números reais com as mesmas características que uma sequência aritmética. As Progressões Aritméticas são denotadas por PA e são caracterizadas pelo fato que, cada termo a partir do segundo, é obtido pela soma do anterior com um número fixo r, denominado razão da PA.
Na sequência, apresentamos os elementos básicos de uma Progressão Aritmética da forma:

C = { a₁, a₂, a₃, ..., a_n, ..., a_m-1, a_m }

1. m é o número de termos da PA.
2. n indica uma posição na sequência. n é o índice para a ordem do termo geral a_n no conjunto C.
3. a_n é o n-ésimo termo da PA, que se lê a índice n.
4. a₁ é o primeiro termo da PA, que se lê a índice 1.
5. a₂ é o segundo termo da PA, que se lê a índice 2.
6. a_m é o último elemento da PA.
7. r é a razão da PA e é possível observar que
   a₂=a₁+r, a₃=a₂+r, ..., a_n=a_n-1+r, ..., a_m=a_m-1+r

A razão de uma Progressão Aritmética, pode ser obtida, subtraindo o termo anterior (antecedente) do termo posterior (consequente), ou seja:

a₂-a₁ = a₃-a₂ = a₄-a₃ = ...  a_n-a_n-1 = r

Exemplos de Progressões Aritméticas (finitas)

1. A PA definida pelo conjunto C={2,5,8,11,14} possui razão r=3, pois:
   
   2+3=5,  5+3=8,  8+3=11,  11+3=14
2. A PA definida pelo conjunto M={1,2,3,4,5} possui razão r=1, pois:
   
   1+1=2,  2+1=3,  3+1=4,  4+1=5
3. A PA definida por M(3)={3,6,9,12,15,18} possui razão r=3, pois:
   
   6-3 = 9-6 = 12-9 = 15-12 = 3
4. A PA definida por M(4)= {0,4,8,12,16 } possui razão r=4, pois:
   
   4-0 = 8-4 = 12-8 = 16-12 = 4

Média aritmética: Dados n números reais x₁, x₂, x₃, ..., x_n, definimos a média aritmética entre estes números, denotada pela letra x com um traço sobre a mesma, como a divisão entre a soma desses números e o número de elementos:

Na Progressão Aritmética, cada termo é a média aritmética entre o antecedente e o consequente do termo tomado, daí a razão de tal denominação para este tipo de sequência.

Fórmula do termo Geral de uma PA

Consideremos a PA com razão r, definida por

P = { a₁, a₂, a₃, ..., a_n-1, a_n }

Observamos que:

a₁ = a₁ = a₁ + 0r
a₂ = a₁ + r = a₁ + 1r
a₃ = a₂ + r = a₁ + 2r
a₄ = a₃ + r = a₁ + 3r
... ... ... ...
a_n = a_n-1+r = a₁+(n-1)r

e obtemos a fórmula do termo geral da PA:

a_n = a₁ + (n-1) r

Com o material apresentado, podemos obter qualquer termo de uma Progressão Aritmética (PA), sem precisar escrevê-la completamente.
Exemplo: Seja a PA com razão r=5, dada pelo conjunto C={3,8,...,a₃₀,...,a₁₀₀}. O trigésimo e o centésimo termos desta PA podem ser obtidos, substituindo os dados da PA na fórmula do termo geral a_n=a₁+(n-1)r. Assim:

a₃₀=3+(30-1)3=90   e   a₁₀₀=3+(100-1)3=300

Qual é o termo de ordem n=2²⁰ desta PA?
Exemplo: Para inserir todos os múltiplos de 5, que estão entre 21 e 623, montaremos uma tabela.

21	25	30	...	615	620	623
	a1	a2	...	an-1	an

Aqui, o primeiro múltiplo de 5 é a₁=25, o último múltiplo de 5 é a_n=620 e a razão é r=5. Substituindo os dados na fórmula a_n=a₁+(n-1)r, obteremos

620 = 25 + (n-1)5

de onde segue que n=120, assim o número de múltiplos de 5 entre 21 e 623, é igual a 120 e podemos observar que o conjunto de tais números é

C₅ = { 25, 30, 35, ..., 615, 620 }

Progressões Aritméticas monótonas

Quanto à monotonia, uma PA pode ser:

1. crescente se para todo n>1: r>0 e a_n<a_n+1.
2. constante se para todo n>1: r=0 e a_n+1=a_n.
3. decrescente se para todo n>1: r<0 e a_n+1<a_n.

Exemplo: A PA definida pelo conjunto C={2,4,6,8,10,12} é crescente, pois r=2 e além disso a₁<a₂<...<a₅<a₆.


Exemplo: A PA finita G={2,2,2,2,2} é constante.


Exemplo: A PA definida pelo conjunto Q={2,0,-2,-4,-6} é decrescente com razão r=-2 e a₁>a₂>...>a₄>a₅.


Exercício: Em uma PA com m termos, mostrar que a razão r pode ser escrita na forma r=(a_m-a₁)/(m-1).

Extremos e Meios em uma PA

Em uma Progressão Aritmética (finita) dada pelo conjunto:

C = { a₁, a₂, a₃, ..., a_n,...,a_m-1, a_m }

os termos a₁ e a_m são denominados extremos enquanto os demais: a₂, a₃, ..., a_m-2, a_m-1 são os meios aritméticos.

a1	a2, a3, ..., am-2, am-1	am
meios aritméticos

Exemplo: Na PA definida por C={1,3,5,7,9,11}, os números 1 e 11 são os extremos e os números 3, 5, 7 e 9 são os meios aritméticos.

Termos equidistantes dos extremos: Em uma PA com m termos, dois termos são equidistantes dos extremos se a soma de seus índices é igual a m+1 e sob estas condições, são equidistantes dos extremos os pares de termos

a₁ e a_m,  a₂ e a_m-1,   a₃ e a_m-2, ...

Se a PA possui um número de termos m que é par, temos m/2 pares de termos equidistantes dos extremos.
Exemplo: A PA definida por C={4,8,12,16,20,24}, possui um número par de termos e os extremos são a₁=4 e a₆=24, assim:

a₂ + a₅ =  8 + 20  = 28 = a₁ + a₆
a₃ + a₄ = 12 + 16  = 28 = a₁ + a₆
a₄ + a₃ = 16 + 12  = 28 = a₁ + a₆
a₅ + a₂ = 20 +  8  = 28 = a₁ + a₆

Se o número m de termos é impar, temos (m-1)/2 pares de termos equidistantes e ainda teremos um termo isolado (de ordem (m+1)/2) que é equidistante dos extremos.
Exemplo: Na PA de C={1,3,5,7,9} os números 1 e 9 são os extremos da PA e os números 3, 5 e 7 são os meios da PA. O par de termos equidistante dos extremos é formado por 3 e 7, e além disso o número 5 que ficou isolado também é equidistante dos extremos.
Exemplo: A PA definida por C={4,8,12,16,20}, possui um número ímpar de termos e os extremos são a₁=4 e a₅=20, logo

a₂ + a₄ =  8 + 16  = 24 = a₁ + a₅
a₃ + a₃ = 12 + 12  = 24 = a₁ + a₅
a₄ + a₂ = 16 +  8  = 24 = a₁ + a₅

Interpolação aritmética

Interpolar k meios aritméticos entre os números a e b, significa obter uma PA com k+2 termos cujos extremos são a e b, sendo que a é o primeiro termo e b é o (último) termo de ordem k+2. Para realizar a interpolação, basta determinar a razão da PA.
Exemplo: Para interpolar 6 meios aritméticos entre a=-9 e b=19, é o mesmo que obter uma PA tal que a₁=-9, a_m=19 e m=8. Como r=(a_m-a₁)/(m-1), então r=(19-(-9))/7=4 e assim a PA ficará na forma do conjunto:

C = { -9, -5, -1, 3, 7, 11, 15, 19 }

Soma dos n primeiros termos de uma PA (finita)

Em uma PA (finita), a soma de dois termos eqüidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos desta PA. Assim:

a₂+a_m-1=a₃+a_m-2=a₄+a_m-3=...=a_n+a_m-n+1=...=a₁+a_m

Seja a soma S_n dos n primeiros termos da PA, dada por

S_n = a₁ + a₂ + a₃ + ... + a_n-2 + a_n-1 + a_n

Como a soma de números reais é comutativa, escrevemos:

S_n = a_n + a_n-1 + a_n-2 + ... + a₃ + a₂ + a₁

Somando membro a membro as duas últimas expressões acima, obtemos:

2S_n = (a₁+a_n) + (a₂+a_n-1) +...+ (a_n-1+a₂) + (a_n+a₁)

Como todas as n expressões em parênteses são somas de pares de termos equidistantes dos extremos, segue que a soma de cada termo, sempre será igual a (a₁+a_n), então:

2S_n = (a₁ + a_n) n

Assim, temos a fórmula para o cálculo da soma dos n primeiros termos da PA.

S_n = (a₁ + a_n)n/2

Exemplo: Para obter a soma dos 30 primeiros termos da PA definida por C={2,5,8,...,89}. Aqui a₁=2, r=3 e n=30. Aplicando a fórmula da soma, obtida acima, temos:

S_n = (a₁+a_n)n/2 = (2+89)×30/2 = (91×30)/2 = 1365

Sequências geométricas e PG

Outra sequência muito importante é a sequência geométrica, que possui domínio infinito. Esta sequência é conhecida no âmbito do Ensino Médio, como uma Progressão Geométrica infinita, mas o objeto matemático denominado Progressão Geométrica finita não é uma sequência, uma vez que o domínio da função é um conjunto finito {1,2,3,...,m} que é um subconjunto próprio de N.
As sequência geométricas são aplicadas a estudos para a obtenção do montante de um valor capitalizado periodicamente, assim como em estudos de Taxas de juros, Financiamentos e Prestações. Tais sequências também aparecem em estudos de decaimento radioativo (teste do Carbono 14 para a análise da idade de um fóssil ou objeto antigo).
No Ensino Superior tais sequências aparecem em estudos de Sequências e Séries de números e de funções, sendo que a série geométrica (um tipo de sequência obtida pelas somas de termos de uma sequência geométrica) é muito importante para a obtenção de outras séries numéricas e séries de funções.
Progressão Geométrica finita: Uma Progressão Geométrica finita, é uma coleção finita de números reais que possui as mesmas características que uma sequência geométrica, no entanto, possui um número finito de elementos. As Progressões Geométricas são denotadas por PG e são caracterizadas pelo fato que a divisão do termo seguinte pelo termo anterior é um quociente q fixado.
Se este conjunto possui m elementos, ele é denotado por

G = { a₁, a₂, a₃, ..., a_n,...,a_m-1,a_m }

No caso de uma Progressão Geométrica finita, temos os seguintes termos técnicos.

1. m é o número de termos da PG.
2. n indica uma posição na sequência. n é o índice para a ordem do termo geral a_n no conjunto G.
3. a_n é o n-ésimo termo da PG, que se lê a índice n.
4. a₁ é o primeiro termo da PG, que se lê a índice 1.
5. a₂ é o segundo termo da PG, que se lê a índice 2.
6. a_m é o último elemento da PG.
7. q é a razão da PG, que pode ser obtida pela divisão do termo posterior pelo termo anterior, ou seja na PG definida por G={a₁,a₂,a₃,...,a_n-1,a_n}, temos que
   
   a₂/a₁ = a₃/a₂ = a₄/a₃ =...= a_n/a_n-1 = q

Média geométrica: Dados n números reais positivos x₁, x₂, x₃, ..., x_n, definimos a média geométrica entre estes números, denotada pela letra g, como a raiz n-ésima do produto entre estes números, isto é:

Na Progressão Geométrica, cada termo é a média geométrica entre o antecedente e o consequente do termo tomado, daí a razão de tal denominação para este tipo de sequência.

Fórmula do termo geral da PG

Observamos que:

a₁ = a₁ = a₁ q⁰
a₂ = a₁ q = a₁ q¹
a₃ = a₂ q = a₁ q²
a₄ = a₃ q = a₁ q³
... ... ...
a_n = a_n-1 q = a₁ q^n-1

E temos a fórmula para o termo geral da PG, dada por:

a_n = a₁ q^n-1

Exemplos com progressões geométricas finitas

1. Seja a PG finita, definida por G={2,4,8,16,32}. Obtemos a razão q=2 da PG com a divisão do consequente pelo antecedente, pois:
   
   32÷16 = 16÷8 = 8÷4 = 4÷2 = 2
2. Para a PG definida por G={8,2,1/2,1/8,1/32}, a divisão de cada termo posterior pelo anterior é q=1/4, pois:
   
   1/32÷1/8 = 1/8÷1/2 = 1/2÷2 = 2÷8 = 1/4
3. Para a PG definida por T={3,9,27,81}, temos:
   
   q = 9/3 = 27/3 = 81/3 = 3
4. Para a PG A={10,100,1000,10000}, temos:
   
   q = 100/10 = 1000/100 = 10000/1000 = 10
5. Para obter o termo geral da sequências geométrica definida por E={4,16,64,...}, tomamos a₁=4 e a₂=16. Assim q=16/4=4. Substituindo estes dados na fórmula do termo geral da sequência geométrica, obtemos:
   
   f(n) = a₁.q^n-1 = 4¹.4^n-1=4^(n-1)+1 = 4ⁿ
6. Para obter o termo geral da PG tal que a₁=5 e q=5, basta usar a fórmula do termo geral da PG, para escrever:
   
   a_n = a₁.q^n-1 = 5.5^n-1 = 5¹.5^n-1 = 5^(n-1)+1 = 5ⁿ

Progressões Geométricas monótonas

Quanto ao aspecto de monotonia, uma PG pode ser:

1. Crescente se para todo n>1: q>1 e a_n<a_n+1.
2. Constante se para todo n>1: q=1 e a_n=a_n+1.
3. Decrescente se para todo n>1: 0<q<1 e a_n>a_n+1.
4. Alternada se para todo n>1: q<0.

Exemplo:

1. A PG definida por U={5,25,125,625} é crescente, pois a₁<a₂<a₃<a₄.
   
   
2. A PG definida por O={3,3,3,3} é constante, pois a₁=a₂=a₃=a₄=3.
   
   
3. A Progressão Geométrica definida por N={-2,-4,-8,-16} é decrescente, pois a₁>a₂>a₃>a₄.
   
   

Interpolação Geométrica

Interpolar k meios geométricos entre dois números dados a e b, significa obter uma PG com k+2 termos, cujos extremos são a e b, sendo que a é o primeiro termo da PG e b é o último termo da PG, que possui ordem k+2. Para realizar a interpolação geométrica, basta determinar a razão da PG.
Exemplo: Para interpolar três meios geométricos entre 3 e 48, basta tomar a₁=3, a_n=48, k=3 e n=5 para obter a razão da PG. Como a_n=a₁q^n-1, então 48=3q⁴ e segue que q⁴=16, garantindo que a razão é q=2. Temos então a PG:

R = { 3, 6, 12, 24, 48 }

Fórmula da soma dos termos de uma PG finita

Seja a PG finita, Y={a₁,a₁q,a₁q²,...,a₁q^n-1}. Indicamos a soma dos n termos dessa PG, por:

S_n = a₁ + a₁ q + a₁ q² + ... + a₁ q^n-1

Se q=1, temos:

S_n = a₁ + a₁ + a₁ + ... + a₁ =n a₁

Se q é diferente de 1, temos

S_n = a₁ + a₁q + a₁q² + a₁q³ + ... + a₁q^n-1

Multiplicando ambos os membros da igualdade acima pela razão q, obteremos

q S_n = a₁q + a₁q² + a₁q³ + a₁q⁴ + ... + a₁q^n-1 + a₁qⁿ

Dispondo estas expressões de uma forma alinhada, obteremos:

S_n = a₁ + a₁q +...+ a₁q^n-1  
q S_n = a₁q +...+ a₁q^n-1 + a₁qⁿ

Subtraindo membro a membro, a segunda expressão da primeira, obteremos

S_n - q S_n = a₁ - a₁ qⁿ

que pode ser simplificada em

S_n(1-q) = a₁ (1 - qⁿ)

ou seja

S_n = a₁(1-qⁿ)/(1-q) = a₁(qⁿ-1)/(q-1)

Esta é a fórmula para a soma dos n termos de uma PG finita de razão q, sendo -1<q<1.
Exemplos

1. Para obter os termos da PG W={3,9,27,81}, devemos obter a razão desta PG e como esta é obtida pela divisão do termo posterior pelo termo anterior, temos que q=9/3=3. Como a₁=3 e n=4, substituímos os dados na fórmula da soma dos termos de uma PG finita, obtemos:
   
   S₄=3 (3⁴-1)/(3-1)=3(81-1)/2= 3×80/2=120
2. Para obter a soma dos 5 primeiros termos de uma PG cuja razão é q=1 e a₁=2, podemos identificar a PG com o conjunto X={2,2,2,2,2}. Como a razão da PG é q=1, temos que a soma dos seus termos é obtida por S₅=2×5=10.

Soma de uma série geométrica

Uma sequência geométrica (infinita) é semelhante a uma PG, mas nesse caso ela possui infinitos elementos. Consideremos agora esta sequência geométrica definida por f(n)=a₁q^n-1, cujos termos estão no conjunto infinito:

F = {a₁,a₁q,a₁q²,a₁q³,...,a₁q^n-1,...}

A soma dos termos desta sequência geométrica, é conhecida como a série geométrica de razão q, e não pode ser obtida da mesma forma que no caso das PGs (finitas), mas aquele processo será utilizado para auxiliar no presente cálculo.
Consideremos a soma dos termos desta sequência geométrica, como:

S_t = a₁ + a₂ + a₃ + ... + a_n + ...

que também pode ser escrita da forma

S_t = a₁ + a₁ q + a₁ q² + a₁ q³ + ... + a₁q^n-1 + ...

ou na forma simplificada

S_t = a₁ (1 + q + q² + q³ + ... + q^n-1 + ... )

A expressão matemática dentro dos parênteses

S = 1 + q + q² + q³ + ... + q^n-1 + ...

é carente de significado, pois temos uma quantidade infinita de termos e dependendo do valor de q, esta expressão, perderá o sentido real.
Analisaremos a situação em cinco casos, mas o último [caso (e)] é o mais importante nas aplicações.
Caso (a): Se q>1, digamos q=2, temos que

S = 1 + 2 + 2² + 2³ +...+ 2^n-1 +... = infinito

e o resultado não é um número real.
Caso (b): Se q=1, temos que

S = 1 + 1 + + 1 +...+ 1 +... = infinito

e o resultado não é um número real.
Caso (c): Se q=-1, temos que

S=-1 + 1 -1 + 1 -1 +1 ... -1 +1 + ...

e dependendo do modo como reunirmos os pares de números consecutivos desta PG infinita, obteremos:

S = 1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+...+(-1+1) +... = 1

mas se tomarmos:

S = (1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1) +...+ (1-1) +... = 0

ficará claro que q=-1, a soma dos termos desta série se tornará complicada.
Caso (d): Se q<-1, digamos q=-2, temos que

S = 1 - 2 + 4 - 8 + 16 - 32 - 64 +...+ 2^n-1 - 2ⁿ + ...

que também é uma expressão carente de justificativa.
Caso (e): Se -1<q<1, teremos o caso mais importante para as aplicações. Neste caso as séries geométricas são conhecidas como séries convergentes. Quando uma série não é convergente, dizemos que ela é divergente.
Consideremos

S = 1 + q + q² + q³ +...+ q^n-1 +...

A soma dos n primeiros termos desta série geométrica, será indicada por:

S_n = 1 + q + q² + q³ + ... + q^n-1

e já mostramos antes que

S_n = (1-qⁿ)/(1-q)

mas se tomamos -1<q<1, a potência qⁿ se aproxima do valor zero, à medida que o expoente n se torna muito grande e sem controle (os matemáticos dão o nome infinito ao pseudo-número com esta propriedade).
Para obter a soma S, deve-se então tomar o limite de S_n quando n tende a infinito e poderemos escrever:

Concluímos então que para -1<q<1, vale a igualdade:

S = 1 + q + q² + q³ + ... + q^n-1 + ... = 1/(1-q)

De uma forma geral, se -1<q<1, a soma

S_t = a₁ + a₁ q + a₁ q² + a₁ q³ + ... + a₁q^n-1 + ...

pode ser obtida por:

S_t = a₁/(1-q)

Exemplos:

1. Para obter a soma dos termos da sequência geométrica definida por S={2,4,8,16,...}, devemos obter a razão, que neste caso é q=2. Assim, a soma dos termos desta PG infinita é dada por:
   
   S_n=2 + 4 + 8 + 16 + ...
   e esta série é divergente.
2. Para obter a soma dos termos da sequência geométrica definida por Y={5,5/2,5/4,5/8,5/16,...}, temos que a razão é q=1/2 e a₁=5, recaindo no caso (e), assim, basta tomar
   
   S_t = 5/(1-½) = 10

Exercícios resolvidos

1. Seja a sequência f com Im(f)={3,6,9,12,15,18,...}. Determinar os elementos indicados.
   

   a. f(1), b. f(3), c. f(4)-f(1), d. f(4)+f(2)
2. Para a sequência f:NR definida por f(n)=2n+1, determinar:
   
   1. Os 4 primeiros termos da sequência.
   2. A imagem de f.
   3. O n-ésimo termo da sequência.
3. Seja a sequência f:NR dada por f(n)=(1+3n)/(2n).
   1. Calcular a soma dos 4 primeiros termos de f.
   2. Verificar se os números 30/19 e 31/20 são termos da sequência e se forem, indique as suas ordens.
4. Uma família marcou um churrasco, com amigos e parentes no dia 13 de fevereiro de um certo ano. A dona da casa está preocupada, pois o açougueiro entrega carne de três em três dias. Sabendo-se que ele entregou carne no dia 13 de janeiro, será que ele entregará carne no dia 13 de fevereiro?
   
5. Apresente o conjunto imagem da sequência f que indica a altura de um avião que levanta vôo do solo numa proporção de 3 metros por minuto.
   
6. Qual é a sequência real f tal que Im(f)={2,7,12,...}?
   
7. Determinar o quinto termo da sequência aritmética definida pelo conjunto C={a+b,3a-2b,...}.
   
8. Calcular o número de termos da PA definida pelo conjunto W={5,10,...,785}.
9. Um garoto dentro de um carro em movimento, observa a numeração das casas do outro lado da rua, começando por 2, 4, 6, 8. De repente passa um ônibus em sentido contrário, obstruindo a visão do garoto de forma que quando ele voltou a ver a numeração, esta já está em 22.
   
   1. Pode-se afirmar que a sequência de números é uma sequência aritmética? Por que?
   2. Quantos números o garoto deixou de ver?
10. Um operador de máquina chegou 30 minutos atrasado no seu posto de trabalho, mas como a máquina que ele monitora é automática, começou a trabalhar na hora programada.
    
    1. Sabendo-se que a máquina produz 10ⁿ peças por minuto, em que n é o números de minutos, quantas peças a máquina produziu até a chegada do operador?
    2. Sabendo-se que depois de 1 hora, a máquina produz a mesma quantidade de peças, quantas peças terá feito a máquina ao final do expediente de 4 horas?
11. Será que existe uma sequência em que cada termo é a média harmônica do antecedente e do consequente?

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